Гипергеометрическое распределение

Гипергеометри́ческое распределе́ние, дискретное распределение вероятностей, заданное формулой:

${\displaystyle p_{m}={\frac {C_{M}^{m}C_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}},\quad m=0,1,\ldots ,}$ (*)

где ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle n}$ – целые неотрицательные числа и ${\displaystyle M\leqslant N}$, ${\displaystyle n\leqslant N}$ (здесь ${\displaystyle C_{a}^{b}}$ – биномиальный коэффициент). Гипергеометрическое распределение обычно связано с выбором без возвращения, а именно: формула (*) указывает вероятность получения ровно ${\displaystyle m}$ «отмеченных» элементов в случайной выборке объёма ${\displaystyle n}$ из генеральной совокупности, содержащей ${\displaystyle N}$ элементов, среди которых ${\displaystyle M}$ «отмеченных» и ${\displaystyle N-M}$ «неотмеченных» элементов. При этом вероятность (*) определена лишь для

${\displaystyle \max(0,M+n-N)\leqslant m\leqslant \min(n,M)}$.

Однако определение (*) можно использовать при всех ${\displaystyle m\geqslant 0}$, т. к. можно считать, что ${\displaystyle C_{a}^{b}=0}$ при ${\displaystyle b>a}$, поэтому равенство ${\displaystyle p_{m}=0}$ нужно понимать как невозможность получить в выборке ${\displaystyle m}$ «отмеченных» элементов. Сумма значений ${\displaystyle p_{m}}$, распространённая на всё выборочное пространство, равна ${\displaystyle 1}$. Если обозначить ${\displaystyle M/N=p}$, то (*) можно переписать в иной форме:

${\displaystyle p_{m}=C_{n}^{m}{\frac {A_{Np}^{m}A_{Nq}^{n-m}}{A_{N}^{n}}},}$

где

${\displaystyle A_{a}^{b}=C_{a}^{b}\,b!\quad {\text{и}}\quad p+q=1}$.

Если ${\displaystyle p}$ постоянна и ${\displaystyle N\to \infty }$, то имеет место биномиальное приближение

${\displaystyle p_{m}\approx C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m}}$.

Математическое ожидание гипергеометрического распределения не зависит от ${\displaystyle N}$ и совпадает с математическим ожиданием ${\displaystyle \mu =np}$ соответствующего биномиального распределения. Дисперсия геометрического распределения

${\displaystyle \sigma ^{2}=npq{\frac {N-n}{N-1}}}$

не превосходит дисперсии биномиального закона ${\displaystyle \sigma ^{2}=npq}$. При ${\displaystyle N\to \infty }$ моменты любого порядка геометрического распределения стремятся к соответствующим значениям моментов биномиального распределения. Производящая функция геометрического распределения имеет вид:

${\displaystyle P(x)={\frac {A_{N-M}^{n}}{A_{N}^{n}}}\sum _{j=0}^{n}{\frac {A_{M}^{j}A_{N}^{j}}{A_{N-M-n+j}^{j}}}\,{\frac {x^{j}}{j!}}}$.

Ряд в правой части представляет собой гипергеометрическую функцию ${\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)}$, где ${\displaystyle \alpha =-n}$, ${\displaystyle \beta =-M}$, ${\displaystyle \gamma =N-M-n+1}$ (этому обстоятельству распределение обязано своим названием). Вероятность (*) и соответствующая функция распределения табулированы в широких пределах.